Матрица экспоненциальная - Matrix exponential

В математика, то матричная экспонента это матричная функция на квадратные матрицы аналогично обычному экспоненциальная функция. Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента связывает матрицу Алгебра Ли и соответствующие Группа Ли.

Позволять Икс быть п×п настоящий или же сложный матрица. Экспонента Икс, обозначаемый е^Икс или же ехр (Икс), это п×п матрица, заданная степенной ряд

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}}$

куда ${\displaystyle X^{0}}$ определяется как единичная матрица ${\displaystyle I}$ с такими же размерами, как ${\displaystyle X}$.^[1]

Приведенный выше ряд всегда сходится, поэтому экспонента от Икс четко определено. Если Икс матрица 1 × 1, матричная экспонента Икс матрица размером 1 × 1, единственным элементом которой является обычный экспоненциальный единственного элемента Икс.

Характеристики

Элементарные свойства

Позволять Икс и Y быть п×п комплексные матрицы и пусть а и б - произвольные комплексные числа. Обозначим п×п единичная матрица к я и нулевая матрица на 0. Матричная экспонента удовлетворяет следующим свойствам.^[2]

Начнем со свойств, которые являются непосредственными следствиями определения в виде степенного ряда:

• е⁰ = я
• ехр (Икс^Т) = (exp Икс)^Т, куда Икс^Т обозначает транспонировать из Икс.
• ехр (Икс^∗) = (exp Икс)^∗, куда Икс^∗ обозначает сопряженный транспонировать из Икс.
• Если Y является обратимый тогда е^YXY−1 = Вы^ИксY⁻¹.

Следующий ключевой результат:

• Если ${\displaystyle XY=YX}$ тогда ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$.

Доказательство этого тождества такое же, как и стандартный аргумент степенного ряда для соответствующего тождества для экспоненты действительных чисел. То есть, так долго как ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ ездить, не имеет значения, является ли ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ числа или матрицы. Важно отметить, что эта идентичность обычно не выполняется, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ не ездить на работу (см. Неравенство Голдена-Томпсона ниже).

Последствия предыдущего тождества следующие:

• е^aXе^bX = е^{(а + б)Икс}
• е^Иксе^−Икс = я

Используя приведенные выше результаты, мы можем легко проверить следующие утверждения. Если Икс является симметричный тогда е^Икс также симметричен, и если Икс является кососимметричный тогда е^Икс является ортогональный. Если Икс является Эрмитский тогда е^Икс также эрмитово, и если Икс является косоэрмитский тогда е^Икс является унитарный.

Наконец, Преобразование Лапласа матричных экспонент составляет противовоспалительное средство,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}}$

для всех достаточно больших положительных значений s.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Основная статья: Матричное дифференциальное уравнение

Одна из причин важности матричной экспоненты заключается в том, что ее можно использовать для решения систем линейных обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},}$

куда А постоянная матрица, задается формулой

${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.\,}$

Матричную экспоненту также можно использовать для решения неоднородного уравнения

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.}$

См. Раздел о Приложения ниже для примеров.

Для дифференциальных уравнений вида не существует решения в замкнутой форме

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},}$

куда А не постоянный, но Серия Магнус дает решение в виде бесконечной суммы.

Определитель матричной экспоненты

К Формула Якоби, для любой комплексной квадратной матрицы отслеживать личность держит:^[3]

${\displaystyle \det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}$

Эта формула не только предоставляет вычислительный инструмент, но и демонстрирует, что экспонента матрицы всегда является обратимая матрица. Это следует из того факта, что правая часть приведенного выше уравнения всегда отлична от нуля, и поэтому det (е^А) ≠ 0, откуда следует, что е^А должен быть обратимым.

В вещественном случае формула также показывает отображение

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

не быть сюръективный, в отличие от сложного случая, упомянутого ранее. Это следует из того факта, что для вещественнозначных матриц правая часть формулы всегда положительна, а существуют обратимые матрицы с отрицательным определителем.

Экспонента сумм

Для любых действительных чисел (скаляров) Икс и у мы знаем, что экспоненциальная функция удовлетворяет е^Икс+у = е^Икс е^у. То же верно и для коммутирующих матриц. Если матрицы Икс и Y ездить на работу (это означает, что XY = YX), тогда,

${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}$

Однако для матриц, которые не коммутируют, указанное выше равенство не обязательно выполняется.

Формула произведения Ли

Даже если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ не коммутирую, экспоненциальный ${\displaystyle e^{X+Y}}$ можно вычислить Формула произведения Ли^[4]

${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(e^{{\frac {1}{n}}X}e^{{\frac {1}{n}}Y}\right)^{n}}$.

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

В обратном направлении, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ - достаточно малые (но не обязательно коммутирующие) матрицы, имеем

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},}$

куда ${\displaystyle Z}$ может быть вычислен как ряд в коммутаторы из ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ с помощью Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа:^[5]

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots }$,

где остальные члены являются повторными коммутаторами, включающими ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ коммутируют, то все коммутаторы равны нулю и имеем просто ${\displaystyle Z=X+Y}$.

Неравенства для экспонент эрмитовых матриц

Основная статья: Неравенство Голдена – Томпсона

За Эрмитовы матрицы есть известная теорема, связанная с след матричных экспонент.

Если А и B - эрмитовы матрицы, то

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}$^[6]

Нет требования коммутативности. Существуют контрпримеры, показывающие, что неравенство Голдена – Томпсона нельзя распространить на три матрицы - и, в любом случае, тр (ехр (А) ехр (B) ехр (C)) не гарантируется, что это правда для эрмитов А, B, C. Тем не мение, Либ доказано^[7][8]что его можно обобщить до трех матриц, если мы изменим выражение следующим образом

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}$

Экспоненциальная карта

Экспонента матрицы всегда обратимая матрица. Обратная матрица е^Икс дан кем-то е^−Икс. Это аналогично тому, что экспонента комплексного числа всегда отлична от нуля. Затем матричная экспонента дает нам карту

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

из космоса всех п×п матрицы к общая линейная группа степени п, т.е. группа из всех п×п обратимые матрицы. На самом деле эта карта сюръективный что означает, что любую обратимую матрицу можно записать как экспоненту некоторой другой матрицы^[9] (для этого необходимо учитывать поле C комплексных чисел, а не р).

Для любых двух матриц Икс и Y,

${\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}$

где ‖ · ‖ обозначает произвольный матричная норма. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение непрерывный и Липшицева непрерывная на компактный подмножества M_п(C).

Карта

${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$

определяет гладкий кривая в общей линейной группе, проходящая через единичный элемент в точке т = 0.

Фактически, это дает однопараметрическая подгруппа полной линейной группы, поскольку

${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.\,}$

Производная этой кривой (или касательный вектор ) в точке т дан кем-то

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.\qquad (1)}$

Производная при т = 0 - это просто матрица Икс, то есть Икс генерирует эту однопараметрическую подгруппу.

В более общем смысле,^[10] для универсального т-зависимая экспонента, Х (т),

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.}$

Принимая вышеуказанное выражение е^Икс(т) вне знака интеграла и разложив подынтегральное выражение с помощью Лемма Адамара можно получить следующее полезное выражение для производной матричной экспоненты:^[11]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots }$

Коэффициенты в приведенном выше выражении отличаются от коэффициентов экспоненты. Для закрытой формы см. производная экспоненциального отображения.

Вычисление матричной экспоненты

Найти надежные и точные методы для вычисления экспоненты матрицы сложно, и это все еще является темой значительных текущих исследований в области математики и численного анализа. Matlab, GNU Octave, и SciPy все используют Аппроксимация Паде.^[12][13][14] В этом разделе мы обсуждаем методы, которые в принципе применимы к любой матрице и которые могут быть реализованы явно для небольших матриц.^[15] В следующих разделах описаны методы, подходящие для численной оценки на больших матрицах.

Диагонализируемый корпус

Если матрица диагональ:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}$,

тогда его экспоненту можно получить, возведя в степень каждую запись на главной диагонали:

${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}}$.

Этот результат также позволяет возвести в степень диагонализуемые матрицы. Если

А = УДУ⁻¹

и D диагональна, то

е^А = Ue^DU⁻¹.

Применение Формула Сильвестра дает тот же результат. (Чтобы увидеть это, обратите внимание, что сложение и умножение, а следовательно, и возведение в степень диагональных матриц эквивалентно поэлементному сложению и умножению, и, следовательно, возведению в степень; в частности, «одномерное» возведение в степень чувствуется поэлементно для диагональных матриц. дело.)

Нильпотентный случай

Матрица N является нильпотентный если N^q = 0 для некоторого целого числа q. В этом случае матричная экспонента е^N могут быть вычислены непосредственно из разложения ряда, поскольку ряд заканчивается после конечного числа членов:

${\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}$

Общий случай

Используя разложение Жордана – Шевалле

Посредством Разложение Жордана – Шевалле, любой ${\displaystyle n\times n}$ матрица Икс со сложными записями можно выразить как

${\displaystyle X=A+N\,}$

куда

• А диагонализируется
• N нильпотентен
• А ездит на работу с N

Это означает, что мы можем вычислить экспоненту Икс путем сведения к двум предыдущим случаям:

${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.\,}$

Заметим, что нам нужна коммутативность А и N для последнего шага к работе.

Используя каноническую форму Жордана

Тесно связанный метод, если поле алгебраически замкнутый, работать с Иорданская форма из Икс. Предположим, что Икс = PJP ⁻¹ куда J является жордановой формой Икс. потом

${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.\,}$

Кроме того, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}$

Следовательно, нам нужно только знать, как вычислить матричную экспоненту жордановой клетки. Но каждый жорданов блок имеет вид

${\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda I+N\,}$

куда N - специальная нильпотентная матрица. Матричная экспонента этого блока имеет вид

${\displaystyle e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\,}$

Проекционный футляр

Если п это матрица проекции (т.е. идемпотент: п² = п), его матричная экспонента:

е^п = я + (е − 1)п.

Получив это путем разложения экспоненциальной функции, каждая степень п сводится к п который становится общим множителем суммы:

${\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}$

Случай вращения

Для простого вращения, в котором перпендикулярные единичные векторы а и б указать самолет,^[16] в матрица вращения р можно выразить через аналогичную экспоненциальную функцию, включающую генератор грамм и угол θ.^[17][18]

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=aa^{\mathsf {T}}+bb^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}$

Формула экспоненты получается при уменьшении степеней грамм в разложении ряда и идентификации соответствующих коэффициентов ряда грамм² и грамм с −cos (θ) и грех (θ) соответственно. Второе выражение здесь для е^Gθ то же самое, что и выражение для р(θ) в статье, содержащей вывод генератор, р(θ) = е^Gθ.

В двух измерениях, если ${\displaystyle a=\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$ и ${\displaystyle b=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$, тогда ${\displaystyle G=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$, ${\displaystyle G^{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)}$, и

${\displaystyle R(\theta )=\left({\begin{matrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right)=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}$

сводится к стандартной матрице поворота плоскости.

Матрица п = −грамм² проекты вектор на ab-plane и вращение влияет только на эту часть вектора. Пример, иллюстрирующий это, - вращение 30 ° = π / 6 в самолете, натянутом на а и б,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}&b&={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}0\\1\\2\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{pmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{pmatrix}}\\P{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{pmatrix}5\\8\\16\\\end{pmatrix}}=a+{\frac {8}{\sqrt {5}}}b&R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Позволять N = я − п, так N² = N и его продукты с п и грамм равны нулю. Это позволит нам оценить возможности р.

${\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}$

Дальнейшая информация: Формула вращения Родригеса и Представление ось – угол § Экспоненциальное отображение от so (3) до SO (3)

Оценка серии Laurent

В силу Теорема Кэли – Гамильтона матричная экспонента выражается в виде полинома порядка п−1.

Если п и Q_т ненулевые многочлены от одной переменной, такие что п(А) = 0, а если мероморфная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}$

является весь, тогда

${\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A)}$.

Чтобы доказать это, умножьте первое из двух приведенных выше равенств на п(z) и заменить z к А.

Такой многочлен Q_т(z) можно найти следующим образом - см. Формула Сильвестра. Сдача а быть корнем п, Q_в(z) решается из продукта п посредством основная часть из Серия Laurent из ж в а: Пропорционально соответствующему Ковариант Фробениуса. Тогда сумма S_т из Q_в, куда а проходит через все корни п, можно рассматривать как частный Q_т. Все остальные Q_т будет получен добавлением кратного п к S_т(z). Особенно, S_т(z), то Многочлен Лагранжа-Сильвестра, единственный Q_т чья степень меньше, чем у п.

Пример: Рассмотрим случай произвольной матрицы 2 на 2,

${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальная матрица е^tA, в силу Теорема Кэли – Гамильтона, должен иметь вид

${\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A}$.

(Для любого комплексного числа z и любой C-алгебра B, мы снова обозначим через z продукт z единицей B.)

Позволять α и β быть корнями характеристический многочлен из А,

${\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}$

если α ≠ β; в то время как, если α = β,

${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}$

Определение

${\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}$

у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}$

куда грех (qt)/q равно 0, если т = 0 и т если q = 0.

Таким образом,

${\displaystyle e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.}$

Таким образом, как указано выше, матрица А разложившись на сумму двух взаимно переходящих частей, следовой части и бесследной части,

${\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}$

матричная экспонента сводится к простому произведению экспонент двух соответствующих частей. Эта формула часто используется в физике, так как она является аналогом Формула Эйлера за Спиновые матрицы Паули, то есть повороты дублетного представления группы SU (2).

Полином S_т также можно дать следующее "интерполяция "характеристика. Определить е_т(z) ≡ e^tz, и п ≡ град п. потом S_т(z) это уникальная степень < п многочлен, удовлетворяющий S_т^(k)(а) = е_т^(k)(а) в любое время k меньше кратности а как корень п. Мы предполагаем, что очевидно, что п это минимальный многочлен из А. Далее предполагаем, что А это диагонализуемая матрица. В частности, корни п просты, а "интерполяция "характеристика указывает, что S_т дается Интерполяция Лагранжа формула, так что это Полином Лагранжа-Сильвестра .

С другой стороны, если п = (г - а)^п, тогда

${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}$

Самый простой случай, не охваченный приведенными выше наблюдениями, - это когда ${\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)}$ с а ≠ б, что дает

${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ {\Bigg (}1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a){\Bigg )}+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}$

Оценка путем реализации Формула Сильвестра

Практическое ускоренное вычисление вышеизложенного сводится к следующим быстрым шагам. Вспомните выше, что п × п матрица ехр (tA) представляет собой линейную комбинацию первых п−1 степени А посредством Теорема Кэли – Гамильтона. За диагонализуемый матрицы, как показано выше, например в случае 2 × 2, Формула Сильвестра дает ехр (tA) = B_α ехр (tα) + B_β ехр (tβ), где Bs являются Коварианты Фробениуса из А.

Однако проще всего решить эти Bs напрямую, вычисляя это выражение и его первую производную в т = 0, через А и я, чтобы найти тот же ответ, что и выше.

Но эта простая процедура также работает для дефектный матрицы в обобщении Бухгейма.^[19] Это проиллюстрировано здесь на примере матрицы 4 × 4, которая является не диагонализуемый, а Bs не являются проекционными матрицами.

Учитывать

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}~,}$

с собственными значениями λ₁ = 3/4 и λ₂ = 1, каждая кратность двух.

Рассмотрим экспоненту каждого собственного значения, умноженную на т, ехр (λ_ят). Умножьте каждое собственное значение в экспоненте на соответствующую матрицу неопределенных коэффициентов B_я. Если собственные значения имеют алгебраическую кратность больше 1, повторите процесс, но теперь умножая на дополнительный множитель т для каждого повторения, чтобы обеспечить линейную независимость.

(Если бы одно собственное значение имело кратность три, то было бы три члена: ${\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}}$. Напротив, когда все собственные значения различны, Bs просто Коварианты Фробениуса, и решение для них, как показано ниже, просто сводится к обращению Матрица Вандермонда из этих 4 собственных значений.)

Суммируем все такие слагаемые, вот таких четыре,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}$

Чтобы найти все неизвестные матрицы B с точки зрения первых трех степеней А и тождества, нужно четыре уравнения, одно из которых дает одно такое при т = 0. Далее продифференцируем его по т,

${\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}$

и опять,

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}$

и еще раз

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}$

(В общем случае п−1 производной.)

Параметр т = 0 в этих четырех уравнениях, четыре матрицы коэффициентов Bs теперь может быть решен для,

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}$

уступить

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}$

Подставляя значение для А дает матрицы коэффициентов

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{pmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{pmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{pmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{pmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

так что окончательный ответ

${\displaystyle e^{tA}={\begin{pmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{pmatrix}}}$

Процедура намного короче, чем Алгоритм путцера иногда используется в таких случаях.

Смотрите также: Производная экспоненциального отображения

Иллюстрации

Предположим, мы хотим вычислить экспоненту

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}$

Его Иорданская форма является

${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},}$

где матрица п дан кем-то

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}$

Сначала вычислим exp (J). У нас есть

${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)\,}$

Экспонента матрицы 1 × 1 - это просто экспонента одного элемента матрицы, поэтому exp (J₁(4)) = [е⁴]. Экспонента J₂(16) можно рассчитать по формуле е^(λя + N) = е^λ е^N упомянутый выше; это дает^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Следовательно, экспонента исходной матрицы B является

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Матричная экспонента имеет приложения к системам линейные дифференциальные уравнения. (Смотрите также матричное дифференциальное уравнение.) Напомним, из ранее в этой статье, что однородный дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} }$

есть решение е^В у(0).

Если рассматривать вектор

${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{pmatrix}}~,}$

мы можем выразить систему неоднородный связанных линейных дифференциальных уравнений в виде

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).}$

Создание анзац использовать интегрирующий коэффициент е^−В и размножаясь повсюду, дает

${\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}$

Второй шаг возможен благодаря тому, что если AB = BA, тогда е^ВB = Быть^В. Итак, вычисляя е^В приводит к решению системы, просто интегрируя третий шаг по т.

Пример (однородный)

Рассмотрим систему

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}$

Связанный дефектная матрица является

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$

Матричная экспонента равна

${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$

так что общее решение однородной системы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$

в размере

${\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}$

Пример (неоднородный)

Рассмотрим теперь неоднородную систему

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}$

У нас снова есть

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}$

Ранее у нас уже есть общее решение однородного уравнения. Поскольку сумма однородных и частных решений дает общее решение неоднородной задачи, теперь нам нужно найти только частное решение.

Согласно вышеизложенному,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}$

которые можно было бы еще больше упростить, чтобы получить необходимое конкретное решение, определенное путем изменения параметров. c = у_п(0). Для большей строгости см. Следующее обобщение.

Обобщение неоднородного случая: вариация параметров

Для неоднородного случая можно использовать интегрирующие факторы (метод, родственный вариация параметров ). Мы ищем частное решение вида у_п(т) = ехр (tA) z (т) ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$

За у_п быть решением,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}}$

куда c определяется начальными условиями задачи.

Точнее, рассмотрим уравнение

${\displaystyle Y'-A\ Y=F(t)}$

с начальным условием Y (т₀) = Y₀, куда

А является п к п комплексная матрица,

F является непрерывной функцией из некоторого открытого интервала я к ℂ^п,

${\displaystyle t_{0}}$ это точка я, и

${\displaystyle Y_{0}}$ вектор из of^п.

Умножение отображаемого выше равенства слева на е^−tA дает

${\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.}$

Мы утверждаем, что решение уравнения

${\displaystyle P(d/dt)\ y=f(t)}$

с начальными условиями ${\displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}}$ для 0 ≤ к <п является

${\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,}$

где обозначения следующие:

${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]}$ - монический многочлен степени п > 0,

ж - непрерывная комплекснозначная функция, определенная на некотором открытом интервале я,

${\displaystyle t_{0}}$ это точка я,

${\displaystyle y_{k}}$ комплексное число, и

s_k(т) коэффициент при ${\displaystyle X^{k}}$ в полиноме, обозначенном ${\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]}$ в подразделе Оценка серии Laurent над.

Чтобы оправдать это утверждение, мы трансформируем наш заказ п скалярное уравнение в векторное уравнение порядка одного обычным сокращение до системы первого порядка. Наше векторное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},}$

куда А это транспонировать сопутствующая матрица из п. Мы решаем это уравнение, как объяснено выше, вычисляя матричные экспоненты с помощью наблюдения, сделанного в подразделе Оценка по реализации формулы Сильвестра над.

В случае п = 2 получаем следующее утверждение. Решение

${\displaystyle y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}}$

является

${\displaystyle y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,}$

где функции s₀ и s₁ такие как в подразделе Оценка серии Laurent над.

Матрично-матричные экспоненты

Матричная экспонента другой матрицы (матрица-матрица экспонента),^[21] определяется как

${\displaystyle X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}}$

${\displaystyle ^{Y}X=e^{Y\cdot \log(X)}}$

за Икс любой нормальный и неособый п×п матрица и Y любой комплекс п×п матрица.

Для матрично-матричных экспонент существует различие между левыми экспонентами ^YИкс и правая экспонента Икс^Y, поскольку оператор умножения для преобразования матрицы в матрицу не является коммутативный. Более того,

• Если Икс нормально и неособо, то Икс^Y и ^YИкс имеют одинаковый набор собственных значений.
• Если Икс нормально и неособо, Y это нормально, и XY = YX, тогда Икс^Y = ^YИкс.
• Если Икс нормально и неособо, и Икс, Y, Z ездить друг с другом, затем Икс^{Y + Z} = Икс^Y·Икс^Z и ^{Y + Z}Икс = ^YИкс·^ZИкс.

Смотрите также

• Матричная функция
• Матричный логарифм
• C₀-полугруппа
• Экспоненциальная функция
• Экспоненциальное отображение (теория Ли)
• Расширение Магнуса
• Производная экспоненциального отображения
• Векторный поток
• Неравенство Голдена – Томпсона
• Распределение фазового типа
• Формула произведения Ли
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Тригонометрические функции матриц

Рекомендации

1. Зал 2015 Уравнение 2.1
2. Зал 2015 Предложение 2.3.
3. Зал 2015 Теорема 2.12.
4. Зал 2015 Теорема 2.11.
5. Зал 2015 Глава 5
6. Бхатия, Р. (1997). Матричный анализ. Тексты для выпускников по математике. 169. Springer. ISBN  978-0-387-94846-1.
7. Э. Х. Либ (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера – Янасе – Дайсона». Успехи в математике. 11 (3): 267–288. Дои:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-X.
8. Х. Эпштейн (1973). «Замечания к двум теоремам Э. Либа». Коммуникации по математической физике. 31 (4): 317–325. Bibcode:1973CMaPh..31..317E. Дои:10.1007 / BF01646492. S2CID  120096681.
9. Зал 2015 Упражнения 2.9 и 2.10
10. Р. М. Уилкокс (1967). «Экспоненциальные операторы и дифференцирование параметров в квантовой физике». Журнал математической физики. 8 (4): 962–982. Bibcode:1967JMP ..... 8..962Вт. Дои:10.1063/1.1705306.
11. Зал 2015 Теорема 5.4.
12. "Экспоненциальная матрица - MATLAB expm - MathWorks Deutschland". Mathworks.de. 2011-04-30. Получено 2013-06-05.
13. «GNU Octave - Функции матрицы». Network-theory.co.uk. 2007-01-11. Архивировано из оригинал на 2015-05-29. Получено 2013-06-05.
14. "Документация по функциям scipy.linalg.expm". Сообщество SciPy. 2015-01-18. Получено 2015-05-29.
15. Видеть Зал 2015 Раздел 2.2
16. в евклидовом пространстве
17. Вейль, Герман (1952). Пространство-время материя. Дувр. п. 142. ISBN  978-0-486-60267-7.
18. Бьоркен, Джеймс Д .; Дрелл, Сидней Д. (1964). Релятивистская квантовая механика. Макгроу-Хилл. п.22.
19. Райнхарт, Р. Ф. (1955). "Эквивалентность определений матричной функции ". Американский математический ежемесячник, 62 (6), 395-414.
20. Это можно обобщить; в общем, экспонента J_п(а) - верхнетреугольная матрица с е^а/ 0! по главной диагонали, е^а/ 1! на том, что выше, е^а/ 2! на следующем и так далее.
21. Игнасио Баррадас и Джоэл Коэн (1994). «Итерированное возведение в степень, матрично-матричное возведение в степень и энтропия» (PDF). Academic Press, Inc. Архивировано с оригинал (PDF) на 26.06.2009.

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-319-13466-6
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46713-1..
• Молер, Клив; Ван Лоан, Чарльз Ф. (2003). «Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, двадцать пять лет спустя» (PDF). SIAM Обзор. 45 (1): 3–49. Bibcode:2003SIAMR..45 .... 3M. CiteSeerX  10.1.1.129.9283. Дои:10.1137 / S00361445024180. ISSN  1095-7200..
• Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics". Журнал математической физики. 26 (4): 601–612. Bibcode:1985JMP....26..601S. Дои:10.1063/1.526596.
• Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. Дои:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.
• Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Dover Books on Mathematics. ISBN  978-0-486-44972-2.
• Van Kortryk, T. S. (2016). "Matrix exponentials, SU(N) group elements, and real polynomial roots". Журнал математической физики. 57 (2): 021701. arXiv:1508.05859. Bibcode:2016JMP....57b1701V. Дои:10.1063/1.4938418. S2CID  119647937.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Matrix Exponential". MathWorld.