Правило частного - Quotient rule
В исчисление, то правило частного это метод поиска производная из функция то есть отношение двух дифференцируемых функций.[1][2][3] Позволять
где оба
и
дифференцируемы и
Правило частного утверждает, что производная от
является
![f '(x) = frac {g' (x) h (x) - g (x) h '(x)} {[h (x)] ^ 2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c7e05d3e8269911e3c725d6dc9e5e90021c7b)
Примеры
- Базовый пример:
![{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} { frac {e ^ {x}} {x ^ {2}}} & = { frac { left ({ frac { d} {dx}} e ^ {x} right) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) left ({ frac {d} {dx}} x ^ {2} right) } {(x ^ {2}) ^ {2}}} & = { frac {(e ^ {x}) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) (2x)} { x ^ {4}}} & = { frac {e ^ {x} (x-2)} {x ^ {3}}}. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f005c644b471d141b9ed1c118a7192de2e3dfc3f)
- Правило частного можно использовать, чтобы найти производную от
следующим образом.![{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} tan x & = { frac {d} {dx}} { frac { sin x} { cos x}} & = { frac { left ({ frac {d} {dx}} sin x right) ( cos x) - ( sin x) left ({ frac {d} {dx}} cos x right)} { cos ^ {2} x}} & = { frac { cos ^ {2} x + sin ^ {2} x} { cos ^ {2} x}} & = { frac {1} { cos ^ {2} x}} = sec ^ {2} x. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c3c1c9cce988c4fb5619c72c454edffc4e0f5f)
Доказательства
Доказательство из определения производной и предельных свойств
Позволять
Применение определения производной и свойств пределов дает следующее доказательство.
![{ Displaystyle { begin {align} f '(x) & = lim _ {k to 0} { frac {f (x + k) -f (x)} {k}} & = lim _ {k to 0} { frac {{ frac {g (x + k)} {h (x + k)}} - { frac {g (x)} {h (x)}}} {k}} & = lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k cdot h (x ) h (x + k)}} & = lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k }} cdot lim _ {k to 0} { frac {1} {h (x) h (x + k)}} & = left ( lim _ {k to 0} { гидроразрыва {g (x + k) h (x) -g (x) h (x) + g (x) h (x) -g (x) h (x + k)} {k}} right) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = left ( lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) h (x) -g) (x) h (x)} {k}} - lim _ {k to 0} { frac {g (x) h (x + k) -g (x) h (x)} {k}} right) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = left (h (x) lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) -g (x)} {k}} - g (x) lim _ {k to 0} { frac {h (x + k) -h (x)} {k}} right) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = { frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x ) ^ {2}}}. End {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5e7b0c39cfa949070b5f8afef408ebe527bf1f)
Доказательство с использованием неявного дифференцирования
Позволять
так
В правило продукта затем дает
Решение для
и заменив обратно на
дает:
![{ Displaystyle { begin {align} f '(x) & = { frac {g' (x) -f (x) h '(x)} {h (x)}} & = { frac {g '(x) - { frac {g (x)} {h (x)}} cdot h' (x)} {h (x)}} & = { frac {g '(x ) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef3d1c1c7f2b24ba8a739a1b30af06b4177fbd8)
Доказательство с использованием цепного правила
Позволять
Тогда правило продукта дает
![{ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) cdot { frac {d} {dx}} (h (x) ^ {- 1} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdce43084f42264766e50efe9014f2c2b93b5a96)
Чтобы оценить производную во втором члене, примените правило власти вместе с Правило цепи:
![{ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) cdot (-1) h (x) ^ {- 2} h '(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31d70596b941a7f66e612be7246a1f34b9f723c)
Наконец, перепишите дроби и объедините члены, чтобы получить
![{ displaystyle { begin {align} f '(x) & = { frac {g' (x)} {h (x)}} - { frac {g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}} & = { frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x) ^ {2}}}. конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448fdc5dd8bccd431411f709d556074b1495297d)
Формулы высшего порядка
Неявное дифференцирование может использоваться для вычисления п-я производная частного (частично в терминах его первого п − 1 производные). Например, дифференцируя
дважды (в результате
), а затем решая для
дает
![{ displaystyle f '' = left ({ frac {g} {h}} right) '' = { frac {g '' - 2f'h'-fh ''} {h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e168174e269141fa7f6973b92fe49f33a160d1)
Рекомендации