Шестнадцатеричное число с плавающей запятой IBM - IBM hexadecimal floating point

Шестнадцатеричный плавающая точка (теперь называется HFP к IBM) - это формат для кодирования чисел с плавающей запятой, впервые представленный на IBM Система / 360 компьютеры и поддерживаются на последующих машинах на основе этой архитектуры,^[1][2][3] а также машины, которые должны были быть совместимы с приложениями с System / 360.^[4][5]

В сравнении с IEEE 754 с плавающей запятой формат HFP имеет более длинный значимое, а короче показатель степени. Все форматы HFP имеют 7 бит экспоненты с предвзятость из 64. Нормализованный диапазон представимых чисел от 16⁻⁶⁵ до 16⁶³ (прибл. 5,39761 × 10⁻⁷⁹ до 7,237005 × 10⁷⁵).

Число представлено следующей формулой: (−1)^знак × 0.значимое × 16^{показатель −64}.

32-битная одинарная точность

А одинарная точность Номер HFP (называемый IBM «коротким») хранится в 32-битном слове:

1		7			24		(ширина в битах)
S	Опыт			Дробная часть
31	30	...	24	23	...	0	(битовый индекс)*
* В документации IBM биты нумеруются слева направо, так что самый старший бит обозначен как бит с номером 0.

В этом формате начальный бит не подавляется, а точка основания (шестнадцатеричная) устанавливается слева от мантиссы (дробь в документации IBM и на рисунках).

Поскольку основание равно 16, показатель степени в этой форме примерно в два раза больше, чем эквивалент в IEEE 754, для того, чтобы иметь аналогичный диапазон показателя в двоичном формате, потребуется 9 битов показателя.

Пример

Рассмотрите возможность кодирования значения -118,625 как значения HFP с плавающей запятой одинарной точности.

Значение отрицательное, поэтому бит знака равен 1.

Значение 118,625₁₀ в двоичном формате - 1110110.101₂. Это значение нормализуется перемещением точки счисления влево на четыре бита (одна шестнадцатеричная цифра) за раз до тех пор, пока крайняя левая цифра не станет нулем, что дает 0,01110110101₂. Остальные крайние правые цифры дополняются нулями, в результате получается 24-битная дробь .0111 0110 1010 0000 0000 0000₂.

Нормализованное значение переместило точку счисления на две шестнадцатеричные цифры влево, в результате чего множитель и показатель степени равны 16.⁺². Смещение +64 добавляется к показателю степени (+2), в результате получается +66, что составляет 100 0010.₂.

Комбинируя знак, показатель степени плюс смещение и нормализованную дробь, получается такая кодировка:

S	Опыт	Дробная часть
1	100 0010	0111 0110 1010 0000 0000 0000

Другими словами, представленное число равно -0,76A000.₁₆ × 16^{66 − 64} = −0.4633789… × 16⁺² = −118.625

Наибольшее представимое число

S	Опыт	Дробная часть
0	111 1111	1111 1111 1111 1111 1111 1111

Представленное число + 0.FFFFFF₁₆ × 16^{127 − 64} = (1 − 16⁻⁶) × 16⁶³ ≈ +7.2370051 × 10⁷⁵

Наименьшее положительное нормализованное число

S	Опыт	Дробная часть
0	000 0000	0001 0000 0000 0000 0000 0000

Представленное число +0,1₁₆ × 16^{0 − 64} = 16⁻¹ × 16⁻⁶⁴ ≈ +5.397605 × 10⁻⁷⁹.

Нуль

S	Опыт	Дробная часть
0	000 0000	0000 0000 0000 0000 0000 0000

Ноль (0,0) представлен в нормализованной форме как все нулевые биты, что арифметически является значением +0,0.₁₆ × 16^{0 − 64} = +0 × 16⁻⁶⁴ ≈ +0.000000 × 10⁻⁷⁹ = 0. Учитывая долю всех битов в ноль, любая комбинация бита с положительным или отрицательным знаком и ненулевой смещенной экспоненты даст значение, арифметически равное нулю. Однако нормализованная форма, сгенерированная аппаратным обеспечением ЦП для нуля, является нулевым для всех битов. Это верно для всех трех форматов точности с плавающей запятой. Сложение или вычитание с другими значениями экспоненты может привести к потере точности результата.

Проблемы с точностью

Поскольку основание равно 16, в двоичном значении может быть до трех ведущих нулевых битов. Это означает, что когда число преобразуется в двоичное, точность может составлять всего 21 бит. Из-за эффекта "точности колебания" это может привести к очень неточным расчетам.

Хорошим примером неточности является представление десятичного значения 0,1. Он не имеет точного двоичного или шестнадцатеричного представления. В шестнадцатеричном формате он представлен как 0,19999999 ...₁₆ или 0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 ...₂, то есть:

S	Опыт	Дробная часть
0	100 0000	0001 1001 1001 1001 1001 1010

У него всего 21 бит, тогда как двоичная версия имеет точность 24 бита.

Шесть шестнадцатеричных цифр точности примерно эквивалентны шести десятичным цифрам (т.е. (6-1) log₁₀(16) ≈ 6,02). Для преобразования шестнадцатеричного числа с плавающей запятой одинарной точности в десятичную строку потребуется не менее 9 значащих цифр (т.е. 6 log₁₀(16) + 1 ≈ 8,22), чтобы преобразовать обратно в то же шестнадцатеричное значение с плавающей запятой.

64-битная двойная точность

В двойная точность Формат HFP (называемый IBM «длинным») аналогичен «короткому» формату, за исключением того, что поле дроби шире, а число двойной точности хранится в двойном слове (8 байтов):

1		7			56		(ширина в битах)
S	Опыт			Дробная часть
63	62	...	56	55	...	0	(битовый индекс)*
* В документации IBM биты нумеруются слева направо, поэтому самый старший бит обозначается как бит с номером 0.

Показатель степени для этого формата покрывает только около четверти диапазона соответствующего двоичного формата IEEE.

14 шестнадцатеричных цифр точности примерно эквивалентны 17 десятичным цифрам. Для преобразования шестнадцатеричного числа с плавающей запятой двойной точности в десятичную строку потребуется не менее 18 значащих цифр, чтобы преобразовать обратно в то же шестнадцатеричное значение с плавающей запятой.

128 бит повышенной точности

IBM, названная расширенной точностью, учетверенная точность Формат HFP был добавлен в серию System / 370 и был доступен на некоторых моделях S / 360 (S / 360-85, -195 и другие по специальному запросу или моделировались программным обеспечением ОС). Поле дроби с повышенной точностью шире, а число с повышенной точностью хранится как два двойных слова (16 байтов):

Часть высокого порядка
1		7			56		(ширина в битах)
S	Опыт			Дробь (старшие 14 цифр)
127	126	...	120	119	...	64	(битовый индекс)*
Младшая часть
8					56		(ширина в битах)
Неиспользованный				Дробь (младшие 14 цифр)
63	...		56	55	...	0	(битовый индекс)*
* В документации IBM биты нумеруются слева направо, поэтому самый старший бит обозначается как бит с номером 0.

28 шестнадцатеричных цифр точности примерно эквивалентны 32 десятичным цифрам. Для преобразования HFP с увеличенной точностью в десятичную строку потребуется не менее 35 значащих цифр, чтобы преобразовать обратно в то же значение HFP.

Арифметические операции

Большинство арифметических операций обрезаются, как простые карманные калькуляторы. Следовательно, 1 - 16⁻⁷ = 1. В этом случае результат округляется от нуля.^[6]

IEEE 754 на мэйнфреймах IBM

Начиная с S / 390 G5 в 1998 году,^[7] Мэйнфреймы IBM также включают двоичные блоки с плавающей запятой IEEE, которые соответствуют Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой. Десятичное число с плавающей запятой IEEE было добавлено в IBM System z9 GA2^[8] в 2007 году с использованием милликод^[9] а в 2008 г. IBM System z10 в оборудовании.^[10]

Современные мэйнфреймы IBM поддерживают три системы счисления с плавающей запятой с тремя шестнадцатеричными (HFP) форматами, тремя двоичными (BFP) форматами и тремя десятичными (DFP) форматами. На ядро ​​приходится два модуля с плавающей запятой; один с поддержкой HFP и BFP и один с поддержкой DFP; есть один регистровый файл, FPR, который содержит все 3 формата. Начиная с z13 в 2015 году процессоры добавили векторную функцию, которая включает 32 векторных регистра шириной 128 бит каждый; векторный регистр может содержать два 64-битных или четыре 32-битных числа с плавающей запятой.^[11] Традиционные 16 регистров с плавающей запятой накладываются на новые векторные регистры, поэтому некоторыми данными можно управлять с помощью традиционных инструкций с плавающей запятой или с помощью новых векторных инструкций.

Специальное использование

Формат IBM HFP используется в:

• Транспортные файлы SAS 5 (.XPT) в соответствии с требованиями Управление по контролю за продуктами и лекарствами (FDA) для подачи заявок на новые лекарственные препараты (NDA),^[12]
• GRIB (GRIdded Binary) файлы данных для обмена результатами моделей прогнозирования погоды (IEEE формат с плавающей запятой одинарной точности в текущей версии),
• GDS II Файлы формата (Graphic Database System II) (ОАЗИС является заменой), и
• СЕГ Y Файлы формата (Society of Exploration Geophysicists Y) (с плавающей запятой одинарной точности IEEE был добавлен в формат в 2002 году).^[13]

Поскольку IBM - единственный оставшийся поставщик оборудования (и только в своих мэйнфреймах), использующий формат HFP, ни один из популярных форматов файлов не требует этого; За исключением того, что FDA требует формат файла SAS и «Все числа с плавающей запятой в файле хранятся с использованием представления мэйнфреймов IBM. [...] Большинство платформ используют представление IEEE для чисел с плавающей запятой. [...] Чтобы помочь вам в чтении и / или записи транспортных файлов, мы предоставляем процедуры для преобразования из представления IEEE (либо с прямым порядком, либо с прямым порядком байтов) в транспортное представление и обратно ».^[12] Код формата IBM также доступен по ссылке LGPLv2.1.^[14]

Системы, использующие формат с плавающей запятой IBM

• IBM System / 360 и преемники
• RCA Spectra 70
• Английская электрическая система 4
• GEC 4000 серии миникомпьютеры
• Interdata 16-битные и 32-битные компьютеры
• SDS Sigma серии
• Инструменты Техаса 990 /12
• Общие данные миникомпьютеры

Смотрите также

• Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой
• Двоичный формат Microsoft

Рекомендации

1. Принципы работы IBM System / 360, Публикация IBM A22-6821-6, седьмое издание (13 января 1967 г.), стр.41-50
2. IBM System / 370 Принципы работы, Публикация IBM GA22-7000-4, пятое издание (1 сентября 1975 г.), стр. 157-170.
3. z / Архитектура Принципы работы, Публикация IBM SA22-7832-01, второе издание (октябрь 2001 г.), глава 9 и далее.
4. Xerox Data Systems (октябрь 1973 г.). Компьютерный справочник Xerox SIGMA 7 Manyal. п. 48. Получено 13 ноя, 2020.
5. RCA (март 1966 г.). Процессоры Spectra 70: 35 45 55 (PDF). п. 184. Получено 13 ноя, 2020.
6. ESA / 390 Enhanced Floating Point Support: Обзор
7. Schwarz, E.M .; Крыговски, К. А. (сентябрь 1999 г.). «Модуль с плавающей запятой S / 390 G5». Журнал исследований и разработок IBM. 43 (5.6): 707–721. Дои:10.1147 / ряд 435.0707.
8. Duale, A. Y .; Decker, M. H .; Zipperer, H.-G .; Aharoni, M .; Богизич, Т. Дж. (Январь 2007 г.). «Десятичные числа с плавающей запятой в z9: перспективы реализации и тестирования». Журнал исследований и разработок IBM. 51 (1.2): 217–227. CiteSeerX  10.1.1.123.9055. Дои:10.1147 / rd.511.0217.
9. Heller, L.C .; Фаррелл, М. С. (май 2004 г.). «Милликод в процессоре IBM zSeries». Журнал исследований и разработок IBM. 48 (3.4): 425–434. CiteSeerX  10.1.1.641.1164. Дои:10.1147 / rd.483.0425.
10. Schwarz, E.M .; Каперник, Дж. С .; Коулишоу, М. Ф. (январь 2009 г.). «Поддержка десятичных чисел с плавающей запятой в процессоре IBM System z10». Журнал исследований и разработок IBM. 53 (1): 4:1–4:10. Дои:10.1147 / JRD.2009.5388585.
11. z / Архитектура Принципы работы
12. «Макет записи набора данных в формате SAS Transport (XPORT)» (PDF). Получено 18 сентября, 2014.
13. http://www.seg.org/documents/10161/77915/seg_y_rev1.pdf
14. https://cran.r-project.org/web/packages/SASxport/SASxport.pdf

дальнейшее чтение

• Суини, Д. У. (1965). «Анализ сложения чисел с плавающей запятой». Журнал IBM Systems. 4 (1): 31–42. Дои:10.1147 / sj.41.0031.
• Томайко, Дж. (Лето 1995 г.). «Проблемы с плавающей точкой системы 360». IEEE Annals of the History of Computing. 17 (2): 62–63. Дои:10.1109 / MAHC.1995.10006. ISSN  1058-6180.
• Хардинг, Л. Дж. (1966), "Особенности системы / 360 с плавающей точкой", Материалы SHARE 27, 8–12 августа 1966 г., Представлено на SHARE XXVII, Торонто, Канада
• Хардинг, Л. Дж. (1966), "Модификации системы / 360 с плавающей запятой", ПОДЕЛИТЬСЯ Секретарь Распределение, стр. 11–27, SSD 157, C4470
• Андерсон, Стэнли Ф .; Эрл, Джон Дж .; Гольдшмидт, Роберт Эллиотт; Пауэрс, Дон М. (январь 1967 г.). «IBM System / 360 Model 91: блок выполнения с плавающей запятой». Журнал исследований и разработок IBM. 11 (1): 34–53. Дои:10.1147 / ряд.111.0034.
• Падегс, А. (1968). «Структурные аспекты System / 360 Model 85, III: Расширения архитектуры с плавающей запятой». Журнал IBM Systems. 7 (1): 22–29. Дои:10.1147 / sj.71.0022.
• Schwarz, E.M .; Sigal, L .; Макферсон, Т. Дж. (Июль 1997 г.). «Модуль CMOS с плавающей запятой для S / 390 Parallel Enterprise Server G4». Журнал исследований и разработок IBM. 41 (4.5): 475–488. Дои:10.1147 / ряд 414.0475.