Характеристический класс - Characteristic class

В математика, а характеристический класс способ ассоциировать с каждым основной пакет из Икс а когомология класс Икс. Класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения и наличие у него разделы. Классы характеристик глобальны инварианты которые измеряют отклонение местный структура продукта из глобальной структуры продукта. Они являются одной из объединяющих геометрических концепций в алгебраическая топология, дифференциальная геометрия, и алгебраическая геометрия.

Понятие характеристического класса возникло в 1935 г. Эдуард Штифель и Хасслер Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Позволять грамм быть топологическая группа, а для топологического пространства , записывать для набора классы изоморфизма из главный грамм-бандлы над . Этот это контравариантный функтор из Вершинакатегория топологических пространств и непрерывные функции ) к Набор (категория наборы и функции ), отправив карту к откат операция .

А характеристический класс c основных грамм-bundles тогда естественная трансформация из к функтору когомологий , рассматриваемый также как функтор Набор.

Другими словами, каждому принципалу присваивается характеристический класс. грамм-пучок в элемент c(п) в ЧАС*(Икс) такой, что если ж : YИкс - непрерывное отображение, то c(ж*п) = ж*c(п). Слева - класс отката п к Y; справа - изображение класса п при индуцированном отображении в когомологиях.

Характерные числа

Характеристические классы - это элементы групп когомологий;[1] можно получить целые числа из характеристических классов, называемых характеристические числа. Некоторые важные примеры характеристических чисел: Числа Штифеля – Уитни, Числа Черна, Понтрягина числа, а Эйлерова характеристика.

Для ориентированного многообразия M измерения п с фундаментальный класс , а грамм-связь с характеристическими классами , можно объединить в пары произведение характеристических классов общей степени п с фундаментальным классом. Количество различных характеристических чисел - это количество мономы степени п в характеристических классах или, что то же самое, в разбиениях п в .

Формально, учитывая такой, что , соответствующее характеристическое число:

куда обозначает чашка продукта классов когомологий, которые обозначаются различными как произведения характеристических классов, таких как или с помощью альтернативных обозначений, например для Число Понтрягина соответствующий , или же для эйлеровой характеристики.

С точки зрения когомологии де Рама, можно взять дифференциальные формы представляющие характеристические классы,[2] возьмите произведение клина так, чтобы получить форму высшей размерности, затем интегрируйте по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологии и спариванию с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют -ориентация, и в этом случае получаем -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни.

Характеристические числа решают ориентированные и неориентированные вопросы о бордизме: два многообразия являются (соответственно ориентированными или неориентированными) кобордантными тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Характерные классы - это явления теория когомологий по существу - они контравариантный конструкции, таким образом, что раздел это своего рода функция на пространство, и чтобы привести к противоречию из-за существования секции, нам действительно нужна эта дисперсия. На самом деле теория когомологий выросла после гомология и теория гомотопии, которые оба ковариантный теории, основанные на картографии в пространство; и теория характеристических классов в зачаточном состоянии в 1930-х годах (как часть теория препятствий ) была одной из основных причин, по которой искали «двойственную» теорию гомологии. Характерно-классовый подход к кривизна инвариантов был особой причиной для создания теории, для доказательства общего Теорема Гаусса – Бонне.

Когда теория была построена на организованной основе примерно в 1950 году (с определениями, сведенными к теории гомотопии), стало ясно, что наиболее фундаментальные характеристические классы, известные в то время ( Класс Штифеля – Уитни, то Черн класс, а Понтрягина классы ) были отражениями классических линейных групп и их максимальный тор структура. Более того, сам класс Черна был не таким уж новым, поскольку нашел отражение в Исчисление Шуберта на Грассманианы, и работа Итальянская школа алгебраической геометрии. С другой стороны, теперь существовала структура, которая производила семейства классов всякий раз, когда существовала векторный набор участвует.

Первичный механизм тогда выглядел так: учитывая пространство Икс несущее векторное расслоение, что подразумевается в гомотопическая категория отображение из Икс к классификация пространства BG, для соответствующей линейной группы грамм. Для теории гомотопии релевантная информация переносится компактными подгруппами, такими как ортогональные группы и унитарные группы из грамм. Когда-то когомологии был вычислен раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы для пучка будут определены в в тех же размерах. Например, Черн класс это действительно один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении.

Это все еще классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно учитывать дополнительную структуру. Когда когомология стала «необычной» с появлением K-теория и теория кобордизма с 1955 года действительно нужно было изменить только букву ЧАС везде, чтобы сказать, какие были характерные классы.

Позже были найдены характерные классы для слоения из коллекторы; они имеют (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) классифицирующую теорию пространств в гомотопия теория.

В более поздних работах после сближение математики и физика, новые характеристические классы были найдены Саймон Дональдсон и Дитер Кочик в Немедленное включение теория. Работа и точка зрения Черн также оказались важными: см. Теория Черна – Саймонса.

Стабильность

На языке теория стабильной гомотопии, то Черн класс, Класс Штифеля – Уитни, и Понтрягин класс находятся стабильный, в то время как Класс Эйлера является неустойчивый.

Конкретно, стабильный класс - это класс, который не меняется при добавлении тривиального пакета: . Более абстрактно это означает, что класс когомологий в классификация пространства за отступает от класса когомологий в при включении (что соответствует включению и аналогичные). Эквивалентно, все конечные характеристические классы отходят от стабильного класса в .

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k-мерный пучок живет в (следовательно, отступает от , поэтому он не может отказаться от занятий в , так как размеры отличаются.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.
  2. ^ К Теория Черна – Вейля, это полиномы по кривизне; к Теория Ходжа, можно принять гармоническую форму.

Рекомендации

  • Черн, Шиинг-Шэнь (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала. Springer-Verlag Press. ISBN  0-387-90422-0. ISBN  3-540-90422-0.
    Приложение к этой книге: «Геометрия характеристических классов» - очень четкое и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.
  • Хэтчер, Аллен, Векторные расслоения и K-теория
  • Хусемоллер, Дейл (1966). Пучки волокон (3-е издание, изд. Springer 1993 г.). Макгроу Хилл. ISBN  0387940871.
  • Милнор, Джон В.; Сташефф, Джим (1974). Характерные классы. Анналы математических исследований. 76. Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси; Университет Токио Пресс, Токио. ISBN  0-691-08122-0.